Movimientos en el plano

Los movimientos son transformaciones geométricas que conservan la forma y el tamaño de las figuras. Cada punto P se transforma en otro punto P' de acuerdo con unas normas determinadas. Así, en cualquier movimiento podemos considerar que todo el plano se desplaza, acompañado de todos los elementos y figuras que contiene.

Tipos de movimientos

Existen cuatro tipos de movimientos en el plano, la Traslación, el Giro o Rotación, la Simetría Axial y la Simetría con Deslizamiento. Cualquier movimiento en el plano es, necesariamente, uno de los cuatro anteriores.

La Traslación es un movimiento en el que los segmentos que unen un punto cualquiera y su transformado son siempre de la misma dirección sentido y longitud. El segmento, que está orientado por asignarle un sentido, se denomina vector de traslación.

El Giro de centro P y ángulo a es un movimiento en el que los segmentos que unen P con un punto cualquiera y con su transformado son de la misma longitud y forman un ángulo igual a a.

Traslaciones y Giros se conocen como movimientos directos por conservar la orientación de la figuras.
En la tabla se representa una traslación de vector AA´ y un giro de centro P y ángulo 90º.

La Simetría Axial de eje la recta r es un movimiento en el que el eje r es mediatriz del segmento que une un punto cualquiera y su transformado, es decir, eje y segmento se cortan perpendicularmente en el punto medio del segmento. Diremos que un punto A y su transformado A´ son simétricos respecto de r.

La simetría con deslizamiento es un movimiento que se compone de una simetría axial y de una traslación de vector paralelo al eje de simetría, es decir para transformar un punto determinamos su simétrico respecto de un eje y a continuación trasladamos el simétrico en dirección paralela al eje.

Las simetrías axiales y las simetrías con deslizamiento se conocen como movimientos inversos por no conservar la orientación de la figuras.
En la tabla se representa una simetría axial y una simetría con deslizamiento de eje r.

Grupos de Simetría

Un conjunto A de puntos del plano se dice que es invariante por un movimiento t cuando t(A)=A , es decir, cuando al transformar todos los puntos del conjunto Aobtenemos el mismo conjunto A.
Por ejemplo, el triángulo equilátero ABC de la figura inferior permanece invariante por las simetrías axiales que tienen por eje a sus mediatrices AG, BG y CG. Además permanece invariante por los giros de centro G y ángulos 120º y 240º. También permanece invariante por el movimiento identidad i, por el cual todo puntoP del plano se transforma en si mismo i(P)=P. Este movimiento se podría identificar con un giro de centro G y ángulo 0º o 360º.
Los movimientos se pueden componer, es decir, se pueden aplicar sucesivamente, de modo que cada movimiento opera sobre el transformado del anterior. El resultado de componer dos movimientos es otro movimiento. Por ejemplo, si componemos dos giros del mismo centro obtenemos otro giro del mismo centro y si componemos dos simetrías axiales de ejes paralelos obtenemos una traslación.
El Grupo de Simetría de una figura plana es el conjunto de movimientos que dejan invariante a dicha figura. El grupo contiene al menos el movimiento identidad i. La composición de dos movimientos del grupo genera otro movimiento del grupo y todo movimiento del grupo tiene su inverso dentro del grupo, de modo que al componer un movimiento con su inverso se obtiene el movimiento identidad. En estas condiciones es posible elaborar una tabla de composición con todos los movimientos del grupo de simetría de una figura. Por ejemplo, en el triángulo equilátero anterior, si designamos por s1 , s2 y s3 a las simetrías de ejes AG, BG yCG, respectivamente, y por g1, g2 e i a los giros de centro G y ángulos 120º, 240º y 360º, respectivamente, resulta la siguiente tabla para la operación o de composición:

o	i	g1	g2	s1	s2	s3
i	i	g1	g2	s1	s2	s3
g1	g1	g2	i	s2	s3	s1
g2	g2	i	g1	s3	s1	s2
s1	s1	s3	s2	i	g2	g1
s2	s2	s1	s3	g1	i	g2
s3	s3	s2	s1	g2	g1	i

Por ejemplo g1os1=s2. En primer lugar se aplica el movimiento de la derecha y luego el de la izquierda..

A continuación se describen los grupos de simetría más relevantes.

Tipos de Grupos de Simetría

Los grupos de simetría son de gran trascendencia en las Ciencias, por ejemplo en Química y Cristalografía, y también en las Artes, como Arquitectura, Música, etc. Existen tres tipos de grupos de simetría en figuras planas con especial relevancia, son los siguientes:

• Grupos de Simetría de Leonardo

Son grupos finitos, es decir, contienen un número finito de movimientos. No pueden contener traslaciones ni simetrías con deslizamiento, se componen de un número de giros (grupo Cíclico) o de un número de giros y el mismo número de simetrías axiales (grupo Diedral). Las figuras con este grupo de simetría se suelen llamar rosetones, muy usuales en las capillas diseñadas por Leonardo da Vinci y en todo tipo de iglesias y palacios. La figura inferior reproduce un rosetón del Alcázar de Sevilla.

Estos grupos también se llaman Puntuales por tener todos los movimientos un mismo punto fijo o invariante llamado Centro de Simetría.

• Grupos de Simetría de los Frisos

Son grupos que contienen una infinidad de traslaciones pero todas en la misma dirección. Las figuras con estos grupos de simetría suelen llamarseFrisos, por la abundancia de estos diseños en forma de banda o cinta que existen en la arquitectura antigua. El siguiente friso está tomado también del Alcázar de Sevilla.Existen siete grupos diferentes de frisos, o siete posibilidades de combinar un motivo en una banda infinita.

• Grupos de Simetría del Plano

Contienen traslaciones en dos direcciones, las figuras con este tipo de simetría recubren el plano y suelen llamarse Mosaicos. A través de un estudio cristalográfico, Fedorov demostró la existencia de diecisiete grupos posibles. La figura reproduce un mosaico del Alcázar de Sevilla.Especial importancia tienen los mosaicos que recubren el plano con polígonos. Se llaman regulares los mosaicos formados a partir de un único tipo de polígono regular, semiregulares los formados por varios tipos de polígonos regulares e irregulares cuando figuran polígonos no regulares.

Resulta de gran interés configurar rosetones frisos y mosaicos a partir de la elección de un determinado motivo. En la página siguiente se presentan varios ejemplos tomando como motivo una baldosa cuadrada con cuatro colores.

Ecuación cuadraticas

Ecuación cuadrática

Esto es una ecuación cuadrática:

(a, b, y c pueden tener cualquier valor, excepto que a no puede ser 0.)

La letra "x" es la variable o incógnita, y las letras a, b y c son los coeficientes (lee lasDefiniciones básicas de Álgebra)

Y el nombre cuadrática viene de "cuad" que quiere decir cuadrado, porque el exponentemás grande es un cuadrado (en otras palabras x2).

Ejemplos de ecuaciones cuadráticas:

		En esta a=2, b=5 yc=3
		Aquí hay una un poco más complicada: ¿Dónde está a? En realidada=1, porque normalmente no escribimos "1x2" b=-3 ¿Y dónde estác? Bueno, c=0, así que no se ve.
		¡Ups! Esta no es una ecuación cuadrática, porque le falta el x2(es decir a=0, y por eso no puede ser cuadrática)

¿Qué tienen de especial?

Las ecuaciones cuadráticas se pueden resolver usando una fórmula especial llamadafórmula cuadrática:

	El "±" quiere decir que tienes que hacer más Y menos, ¡así que normalmente hay dos soluciones!
	La parte azul (b2 - 4ac) se llamadiscriminante, porque sirve para "discriminar" (decidir) entre los tipos posibles de respuesta: si es positivo, hay DOS soluciones si es cero sólo hay UNA solución, y si es negativo hay dos soluciones que incluyennúmeros imaginarios .

Solución

Para resolverla, sólo pon los valores de a,b y c en la fórmula cuadrática y haz los cálculos.

Ejemplo: resuelve 5x² + 6x + 1 = 0

Fórmula cuadrática: x = [ -b ± √(b²-4ac) ] / 2a

Los coeficientes son: a = 5, b = 6, c = 1

Sustituye a,b,c: x = [ -6 ± √(6²-4×5×1) ] / 2×5

Resuelve: x = [ -6 ± √(36-20) ]/10 = [ -6 ± √(16) ]/10 = ( -6 ± 4 )/10

Respuesta: x = -0.2 and -1

(Comprobación:
5×(-0.2)² + 6×(-0.2) + 1 = 5×(0.04) + 6×(-0.2) + 1 = 0.2 -1.2 + 1 = 0
5×(-1)² + 6×(-1) + 1 = 5×(1) + 6×(-1) + 1 = 5 - 6 + 1 = 0)

Ecuaciones cuadráticas disfrazadas

Algunas ecuaciones no parece que sean cuadráticas, pero con manipulaciones astutas se pueden transformar en una:

Disfrazadas	Qué hacer	En forma estándar	a, b y c
x2 = 3x -1	Mueve todos los términos a la izquierda	x2 - 3x + 1 = 0	a=1, b=-3, c=1
2(x2 - 2x) = 5	Desarrolla paréntesis	2x2 - 4x - 5 = 0	a=2, b=-4, c=-5
x(x-1) = 3	Desarrolla paréntesis	x2 - x - 3 = 0	a=1, b=-1, c=-3
5 + 1/x - 1/x2 = 0	Multiplica por x2	5x2 + x - 1 = 0	a=5, b=1, c=-1

Teorema de pitagoras

El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de lahipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto).

Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes  y , y la medida de lahipotenusa es , se establece que:

(1)

De la ecuación (1) se deducen fácilmente 3corolarios de aplicación práctica:

Expresiones cuadraticas por medio de factorízacion

Pues esto caso se resuelve. Con todos los casos anteriores identificando cual utilizar .

Cuarto caso de factorízacion “diferencia de cuadrados”

Al factorízar una diferencia de cuadrados se obtiene trinomios conjugados los cuales son aquellos que tienen un término común y 2 términos simétricos . 

Para factorízar este tipo de expresiones se hace lo sig. 

1. Se extrae la raíz de ambos términos , el término positivo es el que dará de resultado en término común 

2. Al extraer la raíz cuadrada del término que tiene signo negativo se obtendrá 2 resultados un positivo y otro negativo .

Tercer caso de factorízacion “trinomio de segundo grado”

Los casos a seguir para factorízar este tipo de trinomios:

1.sacar la raíz cuadrada del término cuadratico

2.buscar 2 números que sumados algebraicamente nos den el coeficiente del término lineal

3. Y estos mismos números pero multiplicados nos den el término independiente.

Segundo caso de factorízacion

Trinomio cuadrado perfecto.

Para factorízacion el trinomio cuadrado perfecto se necesita cumplí las sig. condiciones :

1.la expresión algebraica tiene que tener 3 términos

2.2 términos tienen que tener raíz cuadrada perfecta 

3. Al sacar las 2 raíces y multiplicarlas por 2  Debe dar el término no utilizado 

Con esto se cumple que es un trinomio cuadrado perfecto 

Y para factorízar se toman las  2 raíces  obtenidas separadas por un signo del término que no se le sacó raíz 

Al factorízar un trinomio cuadrado perfecto. Se obtiene  un binomio al cuadrado.